Anualización del churn o tasa de bajas

Imagina que partes de un conjunto de 1.000 clientes, de los cuales al cabo de un mes pierdes el 20% (la cosa está así de mal). Qué tanto por ciento de clientes puedes esperar perder al cabo de dos meses?. Si tu respuesta es un 40% no te preocupes, porque es habitual, pero también errónea así que tendrás que seguir leyendo.

Para asimilarlo solo tienes que preguntarte qué tanto por ciento de esa cartera habrías perdido al cabo de medio año... Un 120%? hemos perdido más cartera en el período de la que teníamos al principio? pues va a ser que no.

Si en el primer mes perdemos el 20% de la cartera, es decir 200 clientes, empezaremos el segundo mes con 800 clientes. Sin más información, hemos de asumir que la tasa de bajas (20% mensual) se va a mantener, así que lo esperable en el segundo mes es perder de nuevo el 20% de los clientes, pero de los 800 que nos quedaron al cierre del primer mes, no de los 1.000 con que empezamos!. Eso implica perder 160 clientes durante el segundo mes.

Así la pérdida total de clientes en los dos meses será de 200 + 160 = 360, lo cual representa una tasa de bajas bimestral de un 360 / 1.000 = 36%, y no un 40%.

La manera más sencilla de realizar conversiones de tasas de bajas o churn entre un período y cualquier otro, sea mayor o menor al de partida, es analizarlo en términos estadísticos a través de la probabilidad de que un cliente siga vivo, es decir de que no haya cursado baja.

Si tenemos una tasa de bajas mensual c₁, la probabilidad de que un cliente siga en cartera tras un mes será:

p₁ = 1 - c₁

y la probabilidad de que siga en cartera tras 12 meses:

p₁₂ = p₁¹² = (1 - c₁)¹²

La tasa de bajas anual c₁₂ será la probabilidad de que un cliente haya cursado baja en cualquiera de los 12 meses, o lo que es lo mismo, el complementario a la probabilidad de que no lo haya hecho en ninguno de ellos, es decir, de que siga en cartera tras 12 meses:

c₁₂ = 1 - p₁₂ = 1 - (1 - c₁)¹²

Esta fórmula se puede generalizar para pasar de una tasa de bajas medida en un período de n unidades temporales a un período de m unidades temporales como:

c_m = 1 - (1 - c_n)^m/n    ;    (1 - c_m)ⁿ = (1 - c_n)^m

El cálculo admite toda pareja de lapsos temporales, basta plasmar en el cociente m/n la relación entre el período inicial (n) y el que deseamos calcular (m).

Para el ejemplo visto del 20% de churn mensual (c₁ = 0,2), tendríamos estas conversiones:

• Anual: c₁₂ = 1 - (1 - 0,2)¹² = 93,1%
• Semestral: c₆ = 1 - (1 - 0,2)⁶ = 73,8%
• Cuatrimestral: c₄ = 1 - (1 - 0,2)⁴ = 59,0%
• Trimestral: c₃ = 1 - (1 - 0,2)³ = 48,8%
• Bimestral: c₂ = 1 - (1 - 0,2)² = 36,0%
• Bimensual: c_1/2 = 1 - (1 - 0,2)^1/2 = 10,6%
• Diario: c_1/30 = 1 - (1 - 0,2)^1/30 = 0,74%

Para tasas de bajas pequeñas, la aproximación de multiplicar por el número de meses del período destino es bastante aceptable porque equivale a tomar el primer término del desarrollo en serie.

Por ejemplo para un 1% de churn mensual (c₁ = 0,01) tendríamos:

• Anualización aprox.: c₁₂ = 0,01 · 12 = 12%
• Anualización exacta: c₁₂ = 1 - (1 - 0,01)¹² = 11,4%

El error cometido de un 5,6% es bastante asumible en este caso pero, siendo tan sencillo hacerlo bien, por qué arriesgarnos?.